Czy warto inwestować w algebrę komputerową?

Prof. dr hab. Tadeusz Winiarski

Algebra jest jednym z bardzo ważnych działów matematyki. Często nie zdajemy sobie z tego sprawy, że już w wieku przedszkolnym rozpoczynamy naukę tego przedmiotu i kontynuujemy ją przez wiele lat. Jest to tzw. algebra obliczeniowa. Do wykonania skomplikowanych rachunków możemy użyć kalkulatora lub komputera. Tworzeniem stosownych algorytmów "zajmuje się" algebra komputerowa.

Układy równań wielomianowych pojawiają się w wielu zagadnieniach, zarówno matematyki teoretycznej, jak i stosowanej. Często potrafimy napisać stosowny układ równań, ale nie umiemy go rozwiązać.

Pierwsze wzory na rozwiązania układów liniowych, to wzory Cramera z 1750 roku. Po prawie 100 latach (w 1849 roku) pojawił się, dobrze obecnie znany, algorytm Gaussa eliminacji zmiennych w układach równań liniowych. Po ponad 100 następnych latach, bo dopiero w 1965 roku, B. Buchberger podał algorytmy, które pozwalają "eliminować zmienne" w układach równań wielomianowych. Przykłady zastosowań w fizyce, naukach inżynierskich, geometrii szkolnej, genetyce, kryptografii, itp. potwierdzają przydatność odkrytych przez Buchbergera algorytmów. Przykładowo pokażemy jak problemy: kolorowania grafu, prawdomówności czy kłamstwa i zadań z geometrii szkolnej można sprowadzić do poszukiwania rozwiązań odpowiednich układów równań wielomianowych.

W czasie spotkania postaramy się odpowiedzieć na pytanie: dlaczego ponad 200 lat dzieli wzory Cramera od algorytmu Buchbergera? W odpowiedzi na to pytanie zawarta jest informacja o tym "w co trzeba inwestować", a czy warto? - moim zdaniem tak.

Konwersatorium Wydziału Matematyczno-Fizyczno-Technicznego, dnia 22.04.2009 r.